Rt,e=1/𝜏Σts0t-r+1Es / 1/𝜏Σts=t-r+1Es-4≡𝐸tr / 𝐸tr -4

Reproduktions-Zahlenspiel des Robert-Koch-Instituts

Um die Reproduktionszahl „R“ grafisch darzustellen habe ich mir in den vergangenen Wochen mehrmals die Excel-Tabelle vom Robert-Koch-Institut (RKI) heruntergeladen. Das RKI verspricht dabei, Zitat: „Tabelle mit Nowcasting-Zahlen zur R-Schätzung (23.5.2020, Tabelle wird täglich aktualisiert)“ Doch das stimmt so nicht, denn Stand heute 24. Mai, sind die Zahlen erst bis zum 19, Mai eingetragen. Auch in den Wochen zuvor hinkte das RKI immer mit bis zu 5 Tagen hinterher. Dennoch werden täglich in den Medien die tagesaktuellen Zahlen mitgeteilt.
Doch nun wird es ganz besonders heftig: Alle 7 Tage lade ich mir die RKI-Excel-Tabelle herunter. Dabei musste ich feststellen, dass im Nachherein die Zahlen verändert wurden. Nicht nur die Zahlen der letzten Tage, was man verstehen könnte wegen Eingangsverzögerung der Daten, sondern auch Daten die über zwei Monate zurückliegen. Überwiegend werden sie „verschönert“. Das betrifft nicht nur die „R“-Zahl, sondern auch die Anzahl der Neuerkrankungen. Wie kann das sein?
Diese Frage habe ich schriftlich an das RKI gestellt. Antwort – Keine! Es gibt jedoch auf der RKI-Seite dazu eine Erläuterung, s. unten.

Heute 28. Mai Antwort vom RKI - s. Kommentar

Zu den Grafiken:
Grafik 1: 1. Spalte (gelb) die Zahlen vom10. Mai; 2. Spalte vom 17. Mai; Spalte 3 vom 23. Mai; Spalte 5 vom 24. Mai. In den Spalten 2 bis 4 - grün unterlegt die nach unten korrigierten Zahlen und rot unterlegt die nach oben korrigierten Zahlen. Gelb unterlegt die unveränderten Zahlen.
Grafik 2: Verlauf der Reproduktionszahl vom 6. März bis 19. Mai nach dem Stand vom 24. Mai. „R“ war laut RKI zum Beginn des Shutdowns bereits unter 1.

RKI Erläuterung:
Mit Hilfe der vom RKI bereitgestellten Excel-Tabelle der aktuellen Schätzung durch Imputation und Nowcast lässt sich die R-Wert Berechnung des Schritt 3 des Verfahrens nachrechnen und visualisieren.
Das RKI verwendet zur Schätzung der zeitlich variierenden Reproduktionszahl R aufgrund des geschätzten Verlaufs der Anzahl von Neuerkrankungen 𝐸_𝑡 die folgende Formel nach Cori et al. (2013):
𝑅_𝑡=𝐸_𝑡/𝛬_𝑡
wobei 𝛬_𝑡=Σ^𝑡_𝑠=1E_t-sw_s und w₁,w₂,...die diskrete Wahrscheinlichkeits-Verteilung des seriellen Intervalls mit Träger 1,2,… bezeichnet, d.h. für 𝑖=1,2,… gilt 0≤𝑤_i≤1 und die Summe über alle w_i ist 1. In der Formel wird also angenommen, dass die neuen Erkrankungsfälle E_t zum Zeitpunkt 𝑡 sich jeweils bei einem Anteil 𝑤_t der früher erkrankten Personen E_t-s angesteckt haben. Rein technisch handelt es sich bei R_t um eine sog. instantaneous reproduction number [Cori et al. (2013)], welche rückwärts-schauend in der Zeit definiert ist.
Unter der Annahme einer konstanten Generationszeit und eines konstanten seriellen Intervalls von 4 Tagen ergibt sich daraus zunächst die Formel  R_t = E_t/E_t-4
weil bei dieser Annahme die Verteilung des seriellen Intervalls gleichw_i≡I(i=4)ist, wobei I () die Indikatorfunktion angibt. Das heißt R_t gibt an, wieviele Personen eine Person mit Erkrankungsbeginn zum Zeitpunktt - 4 im Durchschnitt ansteckt. Die angesteckten Personen werden dann zum Zeitpunkt 𝑡 beobachtet.
Die obige Schätzung von R verhält sich allerdings typischerweise relativ unruhig und wird normalerweise nicht verwendet - vgl. z.B. Cori et al. (2013), S. 1506. Statt R_t nur für einen Zeitpunkt 𝑡 zu berechnen, kann R_t auch über ein Intervall von 𝜏 Tagen berechnet werden. Cori et al. zeigen, dass dafür die folgende Formel genutzt werden kann:
R_t,r =Σ^t_s=t-r+1E_s/Σts=t-r+1𝛬_𝑠
Beträgt das serielle Intervall 4 Tage, dann vereinfacht sich diese Formel zu
R_t,r =Σ^t_s=t-r+1E_s/Σ^t_s=t-r+1E_s-4
Diese Formel kann äquivalent auch als Quotient zweier gleitendender Mittel über 𝜏 Tage der 𝐸_𝑠-Werte beschrieben werden, also als
R_t,e=1/𝜏Σ^t_s0t-r+1E_s / 1/𝜏Σ_^ts=t-r+1E_s-4≡𝐸^t_r /𝐸^t_{r -4}
wobei 𝐸^r_𝑡=1/𝜏Σ^t_{s=𝑡−𝜏+1} E_s den gleitende Mittelwert der Anzahl von Neuerkrankungen über 𝜏-Tage bezeichnet. Der bisherige vom RKI berechnete (sensitive) R-Wert ergibt sich für 𝜏=4, also als
R_t,4=^-4E_t/^-4E_t =Σ^𝑡_{𝑠=𝑡−a}E_s /Σ^𝑡_{𝑠=𝑡−a}E_s-4
Der stabilere 7-Tages R-Wert ergibt sich für ein Glättungsintervall von 𝜏=7 Tagen, also als
R_𝑡,7= ^-7E_r/ ^-7E_t-4=Σ^t_s=t-6E_s /Σ^t_s=t-6E_s-4
Der an Tag 𝑢 berichtete R-Wert bezieht sich auf das Nowcasting bis zum Zeitpunkt 𝑡=𝑢−4 und damit in der sensitiven Variante auf Neuerkrankungen im Zeitraum 𝑢−7,⋯,𝑢−4 und in der stabileren Variante auf Neuerkrankungen im Zeitraum 𝑢−10,⋯,𝑢−4. Beide Variantes des R-Wertes beziehen sich also auf Intervalle und werden nur zu Darstellungszwecken einem einzelnen Tag zugeordnet.
Bezieht man noch die Inkubationszeit von 4 bis 6 Tagen mit ein, so beschreibt die am Tag 𝑢 berichtete Reproduktionszahl 𝑅_𝑡 in der sensitiven Variante die Neuinfektionen im Zeitraum 𝑢−13,⋯,𝑢−8 und in der stabileren Variante die Neuinfektionen im Zeitraum 𝑢𝑢−16,⋯,𝑢𝑢−8. Dieses letztere Intervall reicht im Vergleich länger zurück und lässt sich eher mit dem Intervall 𝑢𝑢−14,⋯,𝑢𝑢−9 als mit dem Intervall 𝑢−13,⋯,𝑢−8 vergleichen. Um den R-Wert und den 7-Tage R-Wert besser vergleichen zu können, wird daher der 7-Tage R-Wert um einen Tag zurück datiert. Siehe dazu auch Abbildung 2.
Als Beispiel: Im RKI-Lagebericht am 15. Mai 2020 bezieht sich der angegebene sensitive R-Wert auf das Infektionsgeschehen im Zeitraum vom 02. Mai 2020 bis 07. Mai 2020. Der stabile R-Wert auf den Zeitraum 29. April 2020 bis 07. Mai 2020.
Die 95% Prädiktionsintervalle für diese beiden R-Werte für einen spezifischen Tag 𝑡 ergeben sich durch Anwendung der obigen Formel für die R-Werte der 200 Realisationen des Nowcastings. Sie können nicht auf einfache Weise aus den in der Excel-Tabelle angegeben Prädiktionsintervallen für die Neuerkrankungen erzeugt werden. Wichtig ist, dass es sich bei beiden R-Werten um eine statistische Schätzung handelt, weshalb die Prädiktionsintervalle wichtige Informationen zur Sicherheit der Schätzung enthalten.